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数学教案-双曲线的几何性质
作者:佚名  来源:本站整理  发布时间:2010-04-29 09:51:08Tags:

                                                     

§ 8 . 4  双曲线的几何性质(第 1 课时)

㈠课时目标  

1 .   熟悉双曲线的几何性质。

2 .   能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。

确定焦点的位置,3 .   能运用双曲线的几何性质或图形特征。会求双曲线的规范方程。

㈡教学过程

 [ 情景设置 ] 

并填写下表:   叙述椭圆 几何性质。

方程

性质          

图像   略)  

范围  -a ≤ x ≤ a -b ≤ y ≤ b 

对称性   对称轴、对称中心  

0 ± b, 顶点   ± a.0  

离心率  e= 几何意义 )

 [ 探索研究 ]

探讨双曲线 几何性质:范围、对称性、顶点、离心率。  1 .类比椭圆 几何性质。

   双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。

双曲线与椭圆的几何性质对比如下:

    

方程

性质         

图像   略)   略)

或 x ≤ -a, 范围  -a ≤ x ≤ a -b ≤ y ≤ b x ≥ a.i ∈ R

对称性   对称轴、对称中心   对称轴、对称中心

0 ± b, 顶点   ± a.0   -a,0 a,0

离心率  0 < e= < 1

e= > 1

下面继续研究离心率的几何意义:

e= > 1 a b c e 关系: c2=a2+b2.

2. 渐近线的发现与论证

能较为准确地把 画出来吗?能) 根据椭圆的上述四个性质。

能较为准确地把 画出来吗?不能) 根据上述双曲线的四个性质。

能把双曲线的顶点及附近的点,通过列表描点。比较精确地画出来,但双曲线向何处伸展就不很清楚。

与 x 轴、 y 轴无限接近)此时, x 轴、 y 轴叫做曲线 y= 渐近线。 能较为准确地画出曲线 y= , 这是为什么?因为当双曲线伸向远处时。

又该是怎样的直线呢? 问:双曲线 有没有渐近线呢?若有。

由双曲线的规范方程可解出: 引导猜测:研究双曲线的范围时。

y= ± = ±

就无限趋近于零,当 x 无限增大时。也就是说,这是双曲线 y= ±

与直线 y= ± 无限接近。

这使我猜想直线 y= ± 为双曲线的渐近线。

那么,如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时,与渐近线越来越接近呢?显然,只要考虑第一象限即可。 直线 y= ± 恰好是过实轴端点 A1 A2 虚轴端点 B1 B2 作平行于坐标轴的直线 x= ± a, y= ± b 所成的矩形的两条对角线。

设 M x0, 证法 1 如图。y0 为第一象限内双曲线 上的仍一点,则

y0 渐近线 ay-bx=0 距离为: y0=  M x0.

∕MQ ?=  =

                  =   .      

x0 随着增大,点 M 向远处运动。 ∕MQ ˙BE椭鸾ゼ跣。? 点就无限接近于 y=

故把 y= ± 叫做双曲线 渐近线。

3 .离心率的几何意义

∴ e > 1 由等式 c2-a2=b2, ∵ e= c > a. 可得 = = =

e 越小(接近于 1 越接近于 0 双曲线开口越小(扁狭)

双曲线开口越大(开阔)  e 越大 越大。

 4 .巩固练习

并画出双曲线。    求下列双曲线的渐近线方程。

        ① 4x2-y2=4       ② 4x2-y2=-4

    已知双曲线的渐近线方程为 x ± 2y=0 分别求出过以下各点的双曲线方程

         ① M 4    ② M 4

[ 知识应用与解题研究 ]

例 1   求双曲线 9y2-16x2=144 实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面,如图;最小半径为 12m, 例 2    双曲线型自然通风塔的外形。上口半径为 13m, 下口半径为 25m, 高为 55m, 选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到 1m

㈣提炼总结

1.  双曲线的几何性质及 a b c e 关系。

其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。 2.  渐近线是双曲线特有的性质。

3.  双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。

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